絶対に忘れない和積の公式の覚え方

和積の公式はこんなです。

$$sinA+sinB=2\sin \frac {A+B}{2}\cos \frac {A-B}{2}$$

$$sinA-sinB=2\cos\frac {A+B}{2}\sin \frac {A-B}{2}$$

$$cosA+cosB=2\cos\frac {A+B}{2}\cos\frac {A-B}{2}$$

$$cosA-cosB=-2\sin\frac {A+B}{2}\sin \frac {A-B}{2}$$

これをさっと覚えるにはどうしたら良いでしょうか。

加法定理から導くというのもこのA+Bという謎の変数の変換によってなんだかよくわかりません。

ではどうやって覚えたらいいでしょうか？

実はこの公式はsin, cos の微分の公式を導出するのに使われています。

ならばそのsin, cosの微分の導出を手がかりにこの公式を覚えてはどうでしょうか？

sin(x)の微分はなんですか？

そうcos(x)です。

ではこれを導き出してみましょう。

微分の定義より

$$sin'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {sin(x+h) - sin(x)}{h}$$

はい！ここに何か見覚えのあるやつが出てきていますよ。

そう！sinA - sinBだ！

ここでA = (x + h) , B = xと置けば和積の公式の形です。

A+B/2とA-B/2は

$$ \frac {A+B}{2} = x + \frac{h}{2}$$

$$ \frac {A-B}{2} = \frac{h}{2}$$

です。

そしてこれはcos(x)になることがわかっている。

ということは A+B のほうがcosだとわかります。

なぜならh はlim h->0で0になり消えてなくなるからです。

なのでcosの方にA+B/2 (x + h/2)を入れて

$$ \lim_{h \to 0} \frac {2 sin(\frac{h}{2}) cos(x+\frac{h}{2})}{h}$$

分子の2を分母に1/2にしてかけると

$$ \lim_{h \to 0} \frac {sin(\frac{h}{2}) cos(x+\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}$$

sin(x)/xはxが0に近づくと1なので無事にcos(x)が残りました。めでたしめでたし

で終わるのではなく逆にこのsinの微分の導出を思い出しながら和積の公式を覚えてみましょう。

具体的にはsinA - sinBの形を見る。

これはsinの微分のやつと思う。

ならばcosが残るはずと考え。そうならcosのほうにA+B/2が入ると思い出す。

あとはlim h->0で1になるためのsinが必要だと考えればsin(A-B/2)が思い出されるはずです。

よってsinA - sinB = 2 cos(A+B/2) sin(A-B/2) が出てきました。

では同じようにcosの微分を考えてみましょう。

cos(x)の微分は-sin(x)です。なので和積の公式にもマイナスがでてきます。

そして今度は1になって消える部分(sin(x)/x)のもういっぽうもsinです

ここまでくればもう和積の公式がでるでしょう。

-2 sin(A-B/2)sin(A+B/2)ですね。

あと2つはどうするんだって？

そこはsinとcosがひっくり返ってマイナスが消えるとでも覚えておきましょう(適当)（´Д｀;）