強制振動の微分方程式をフーリエ変換を使って解く

$$\ddot { \psi } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \psi + 2 \gamma \dot { \psi } = F \sin ( \omega t )$$

独習者のための大学数学　5.3 例題9 の問題です

必要な基礎知識

フーリエ変換

tの関数に$$e ^ { -ikt}　$$をかけてtについて積分したもの

$$\hat { f } ( k ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t ) e ^ { - i k t } d t$$

フーリエ逆変換

フーリエ変換ででたfから元のfを求められる

$$ { f } ( k ) = \frac {1} {2 \pi} \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat {f }( t ) e ^ { i k t } d t$$

フーリエ変換と微分

微分された関数をフーリエ変換するにはその関数のフーリエ変換にikの微分の回数乗をかける

$$\begin{array} { l } { \mathcal { F } \left[ f ^ { \prime } ( x ) \right] ( k ) = i k \mathcal { F } [ f ( x ) ] ( k ) } \\ { \mathcal { F } \left[ f ^ { ( n ) } ( x ) \right] ( k ) = ( i k ) ^ { n } \mathcal { F } [ f ( x ) ] ( k ) } \end{array}$$

デルタ関数

定義

$$\delta ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \infty } & { ( x = 0 ) } \\ { 0 } & { ( x \neq 0 ) } \end{array} \right.$$

$$\int _ { - \infty } ^ { \infty } \delta ( x ) \mathrm { d } x = 1$$

デルタ関数をかけて積分するとf(x)の積分がf(0)になる

$$\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \delta ( x ) \mathrm { d } x = f ( 0 )$$

$$\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \delta ( x - a ) \mathrm { d } x = f ( a )$$

デルタ関数の遇関数的な性質

$$ \delta (x) = \delta (-x)$$

デルタ関数のフーリエ積分表示

$$\delta ( x ) = \frac {1} {2 \pi} \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i k x } d k$$

オイラーの公式

$$ e ^ { i x } = cos x + i sin x $$

$$\begin{aligned} \cos z & = \frac { e ^ { i z } + e ^ { - i z } } { 2 } \\ \sin z & = \frac { e ^ { i z } - e ^ { - i z } } { 2 i } \end{aligned}$$

加法定理

$$ sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinA $$

$$\ddot { \psi } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \psi + 2 \gamma \dot { \psi } = F \sin ( \omega t )$$

左辺は微分のフーリエ変換を利用して

$$\ddot { \psi } \rightarrow - k ^ { 2 } \hat { \psi } , \quad \psi \rightarrow \hat { \psi } \quad \dot { \psi } \rightarrow i k \hat { \psi }$$

を代入すると

$$- k ^ { 2 } \hat { \psi } ( k ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \hat { \psi } ( k ) + 2 i \gamma k \hat { \psi } ( k )$$

となる。

右辺は$$sin \omega t $$ のフーリエ変換をする

フーリエ変換の定義

$$\hat { f } ( k ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t ) e ^ { - i k t } d t$$

より

sinを代入して

$$\int_{-\infty }^{\infty }sin\omega t e^{-ikt}dt $$

オイラーの公式によりsinを変形

$$ = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { e ^ { i \omega t } - e ^ { - i \omega t } } { 2 i } e ^ { - i k t } d t $$

$$ e $$ の掛け算を実行し積分を分ければ

$$ = \frac { 1 } { 2 i } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i ( k - \omega ) t } d t - \frac { 1 } { 2 i } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i ( k + \omega ) t } d t=$$

となる

eの積分をデルタ関数であらわすと

$$\delta ( x ) = \frac {1} {2 \pi} \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i k x } d k$$

より

$$ = \frac { \pi } { i } ( \delta ( k - \omega ) - \delta ( k + \omega ) )$$

これで右辺の計算は終わり

右辺$$ = F \frac { \pi } { i } \{ \delta ( k - \omega ) - \delta ( k + \omega ) \}$$

をえる

全体をフーリエ変換された$$\hat { \psi }$$でまとめると

$$- k ^ { 2 } \hat { \psi } ( k ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \hat { \psi } ( k ) + 2 i \gamma k \hat { \psi } ( k ) = F \frac { \pi } { i } \{ \delta ( k - \omega ) - \delta ( k + \omega ) \}$$

が

$$\hat { \psi } ( k ) = \frac { \pi F} {i} \frac { \{ \delta ( k - \omega ) - \delta ( k + \omega ) \} } { w _ { 0 } ^ { 2 } - k ^ { 2 } + 2 i \gamma k }$$

となる

その逆変換から目的である$$ \psi $$を求めていく

$$ \hat {\psi} $$のフーリエ逆変換より

$$\psi ( k ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { \psi } ( k ) e ^ { i k t } d k$$

$$ = \frac { F } { 2 i } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { e ^ { i k t } } { w _ { 0 } ^ { 2 } - k ^ { 2 } + 2 i \gamma k } \{ \delta ( k - \omega ) - \delta ( k + \omega ) \} d k$$

デルタ関数をかけて積分するとf(x)の積分がf(0)になるので$$ f(k - \omega )$$の積分は $$ f(\omega)　$$となる

$$ \omega $$ ,$$ - \omega $$をそれぞれのkに代入して

$$ = \frac { F } { 2 i } \{ \frac { e ^ { i \omega t } } {w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } + 2 i \gamma \omega } - \frac { e ^ { - i \omega t } } {w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - 2 i \gamma \omega } \}$$

となる

eをsinとcosであらわすと

$$ cos(- \theta) = cos( \theta), sin(-\theta) = - sin(\theta) $$ より

$$ e ^ { i \omega t } = cos \omega t + i sin \omega t $$

$$ e ^ { -i \omega t } = cos (- \omega t) + i sin (- \omega t) = cos ( \omega t) - i sin (\omega t) $$

とあらわせる

これを代入して

$$ = \frac { F } { 2 i } \{ \frac { cos \omega t + i sin \omega t } {w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } + 2 i \gamma \omega } - \frac { cos ( \omega t) - i sin (\omega t) } {w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - 2 i \gamma \omega } \}$$

分数の足し算をするために分母をそろえる

$$ = \frac { F } { 2 i } \{ \frac { (cos \omega t + i sin \omega t) (w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - 2 i \gamma \omega) } { (w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } + 2 i \gamma \omega)(w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - 2 i \gamma \omega) } - \frac { (w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } + 2 i \gamma \omega) ( cos ( \omega t) - i sin (\omega t) )} { (w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } + 2 i \gamma \omega)(w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - 2 i \gamma \omega) } \}$$

$$ = \frac { F } { 2 i } \{ \frac { (cos \omega t + i sin \omega t) (w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - 2 i \gamma \omega) } { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } - \frac { (w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } + 2 i \gamma \omega) ( cos ( \omega t) - i sin (\omega t) )} { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \}$$

$$ = \frac { F } { 2 i } \{ \frac { (cos \omega t) (- 4 i \gamma \omega) } { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } + \frac {2 * (w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 }) ( i sin (\omega t) )} { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \}$$

$$ = \frac { F } { 2 i } \{ \frac { (cos \omega t) (- 4 i \gamma \omega) + 2 * (w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 }) ( i sin (\omega t) )} { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \}$$

$$ = F \{ \frac { (cos \omega t) (- 2 \gamma \omega) + (w _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 }) ( i sin (\omega t) )} { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \}$$

ここで

$$ sin \alpha = \frac {2 i \gamma \omega} { \sqrt { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } }}$$

$$ cos \alpha = \frac {\left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 }} { \sqrt { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } }}$$

ならば合成できると考えその角度を $$ \alpha $$と定義すると

加法定理より

$$ sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinA $$

となるので式を $$ \alpha $$ を使って表すと

$$\psi ( k ) =　F \frac { \sin ( \omega t - \alpha ) } { \sqrt { \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } }$$

$$ \alpha $$はタンジェントの形であらわし

$$\tan \alpha = \frac { 2 \gamma \omega } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } }$$